数列

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こんにちは、理数担当の岩野です。
今日は高校2年生の授業のことを書かせていただきます。
現在高校2年生は数Bの数列を勉強しはじめました。
数列とは規則的に並んだ数字のことで、問題によっては小学生の問題集にも同じようなものが出題されていたりします。

下は高校生の実際の授業で出した問題です。
① 2,4,6,8,10,□,…
② 2,3,5,7,11,□,…
③ 1/2,1/4,1/8,1/16,□…
□に当てはまる数字は何でしょう?

①の問題は、毎回2ずつ増えるという規則が分かりますので、答えは12と分かります。
②の問題は、素数(1とその数でしか割り切れない数)の小さい数から並んでいるという規則が分かりますので、答えは13と分かります。
③の問題は、毎回1/2倍されているという規則が分かりますので、答えは1/32と分かります。

①と③は答えられる人も多いかと思いますが、②の問題は素数というものを分かっていないと答えにくいですね。
高校の数列は最初このようなところから入りますが、さすが高校、この先が果てしなく長いのです。

例えば、100番目はどうなっているか?
この問題を文字式に直して考えていくのです。
さらに1番目から100番目までを足したらどうなるか?
1つ1つを足していったらとても大変なことになります。
問題ごとに足し方の工夫が必要になり計算も複雑になっていきます。

こういう勉強をした後、さらに規則性が複雑になっていきます。

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そもそも、極端な理系の人は世の中のものをなんでも式に直そうとします。
自然現象すら式に表そうとします。

今日、生徒にこんな数列を出しました。

  1,2,3,5,8,13,21,34,□,…

ある単純な規則で並んでいます。
生徒達も規則を見つけて全員55と答えることができました。
1つ前と2つ前を足したらその数になるという規則です。
実は、この数列は自然界のものを数字に置き換えたら出てきたものでフィボナッチ数列という名前まで付いています。
この数列をどんどん先まで足していくと、前の数を(1+√5)/2倍するとおよそ次の数になるという関係が出てきます。

この数字、以前ブログにも少し書いたことのある黄金比のことです。
この黄金比、人が見て美しいと感じるときの比率であり、自然界にもあふれている数字でもあります。
このブログの写真、ちょっと早いヒマワリです。
その中心部、種の列ならびを右巻きと左巻きの両方を数えてみて下さい。
上の数列の数字が出てくるはずです。

人間の目は自然なものを美しく感じます。
それは比でいうと黄金比であり、数列でいうとフィボナッチ数列にあたります。

ただ単に、学校の勉強としての数学ではなく、身の回りの面白さを知るきっかけの一つになってくれたらと思います。

岩野


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