判別式と解の公式

 みなさんこんにちは、高校担当の末次です。
今日の数学の時間に2次方程式 x^2+ax+4=0 が虚数解をもつときaの範囲を求めよ。といった問題(実際はもっと複雑だったのですが・・・)がでてきました。虚数解とは虚数iを含む(ルートの中がマイナスの)解という意味なのですが、どう考えていけばいいのでしょうか。

生徒「どう解くのかよくわからないのですが」
私「判別式は知ってるかな?」
生徒「b^2-4ac というのは知っています」
私「そうだね。このb^2-4acってどこから来てるか知ってるかな?」
生徒「知らないです」
私「二次方程式ax^2+bx+c=0の解は?」
生徒「x=-b+-√b^2-4ac/2a です」

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私「そうだね。このルートの中にあるのがb^2-4ac。b^2-4acがプラスだと解はいくつあるかな?」
生徒「二つです」
私「そうだね。-b+√b^2-4ac/2aっていう解と、-b-√b^2-4ac/2aっていう解の二つあることになる。じゃぁb^2-4acがゼロだと解はいくつだろ」
生徒「ひとつです」
私「そう。ルートの中身がゼロだからプラスマイナスゼロ、って形になって消えちゃうんだよ。その時解を文字をつかってあらわすとどうなる?」
生徒「x=-b/2aです」
私「その通り。今度はb^2-4acがマイナスになったらどうなるかを考えてみよう。ルートの中身がマイナスってのは実際の数値としてはあり得ないんだよね」
生徒「解の個数はゼロです」
私「そうだね。実数解はゼロだ。でもこの場合、ルートの中身がマイナスになって実際にはあり得ない解が存在するともいえる。つまり虚数解を二つもつとも言えるんだよ」
生徒「なるほどー。じゃぁ虚数解をもつと言われたら、判別式がマイナスになるって考えていけばいいんですね」
私「その通り。虚数解をもつってことが実数解を持たないということと同じ意味になるんだね」

 この範囲では、判別式をただ形だけ暗記していると理解しづらいと思います。判別式というものが解の公式からでていて、ルートの中身の正負を考えるだけで解の個数を判別することができる、という根本の部分を押さえておくと理解しやすいのではないでしょうか。
  末次

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