経路問題

こんにちは、岩野です。
先日、高校3年生の数学の時間にこんな問題がありました。

問題:下の図でAからBまで線に沿って最短経路で移動する道のりは何通りあるか?

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宿題で出ていた問題です。
生徒はちゃんと答えも出ていて、合っていました。
しかしこの問題、解き方が大きく分けて二つあります。

ある生徒は、「→の移動が5回と↑の移動が4回だから9!/(5!×4!)=126通りです」
(!は階乗の記号です。5!=5×4×3×2×1という意味)
たしかにその通りです。
AからBまでの移動の仕方は、
「→→→→→↑↑↑↑」
「→→↑→→↑→↑↑」
「↑→→↑↑→→→↑」
      ・
      ・
      ・
と沢山あります。
最初は同じ→の印や↑の印を全て区別しておいて、後からその区別を無くすという計算の仕方です。
高校数学の解き方です。

他の生徒は、「9C5で計算しました」
これもありです。
9回の移動のうち横移動の5回を決めてしまえば、残りの横移動も自動的に決まるという考え方です。
これも高校数学の解き方です。

そしてまた別の生徒は「図に書き込みました」
つまり下のような状態です。

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この解き方は中学数学でも使う解き方です。
図にグリグリと書き込んでいく、一見スマートではない解き方です。

しかしこの解き方は経路問題が複雑になればなるほどとても有効的になります。
もちろん大学入試問題でも使ったりします。

複雑な図の経路を式で解こうとすると場合分けが多くなりすぎて計算していられません。
しかし図に書き込む解き方だったら、他の人が場合分けを考えている間に答えが出せます。
なかなか便利です。
例えば下のような問題です。

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では書き込みができれば全てOKかというとそうでもありません。
「場合の数」の問題は経路問題だけではないからです。

つまり、両方使えて、使い分けることができれば一番ですね。


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